微分積分例

$y = \frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.2

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.14.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.16

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.17

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.18

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.19.1

$2$ を $6 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.19.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.19.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

ステップ 3.10

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

ステップ 3.11

$\frac{- 2}{4}$ と $x^{- 3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

ステップ 3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

ステップ 3.13

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

ステップ 3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.2.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 3.13.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 3.13.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

ステップ 3.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2 x^{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例