微分積分例

$y = - \frac{3}{5 x + 2}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{5 x + 2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{5 x + 2}$ を ${(5 x + 2)}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 5 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x + 2$ とします。

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $5 x + 2$ で置き換えます。

$- 3 (- {(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 ({(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 3.2

総和則では、 $5 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.6

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + 0)$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} \cdot 5$

ステップ 3.7.2

$5$ に $3$ をかけます。

$15 {(5 x + 2)}^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$15 \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$15$ と $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{15}{{(5 x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例