微分積分例

$y = \frac{3 + 4 x - 6 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = 3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [4 x]$ をたし算します。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (4 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{x (4 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.8

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x (4 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

$- 6$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (4 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x (4 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 12

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$\frac{x (4 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot x + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 x - x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.3

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x - \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{4 x - (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.5.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.8

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 17.3.1.9

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

ステップ 17.3.2

$4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.2.1

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

ステップ 17.3.2.2

$- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

ステップ 17.3.3

$- 3 x^{\frac{1}{2}}$ と $6 x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

ステップ 17.4

$3$ を $3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{2}}$

ステップ 17.4.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)}{x^{2}}$

ステップ 17.4.3

$3$ を $3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例