微分積分例

$y = \frac{3 x^{5} + 6}{x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{5} + 6$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{5} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.5

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.6

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + 0) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.7

$15 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} (15 x^{4}) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{3}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{x^{7} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

$15$ を $x^{7}$ の左に移動させます。

$\frac{15 \cdot x^{7} - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{15 x^{7} - (3 x^{5} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{15 x^{7} + (- 3 (3 x^{5}) - 3 \cdot 6) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5}) x^{2} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

指数を足して $x^{5}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 (x^{2} x^{5})) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{2 + 5}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.1.3

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{7}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.3

$- 3$ に $6$ をかけます。

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.2

$15 x^{7}$ から $9 x^{7}$ を引きます。

$\frac{6 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.4

$6 x^{2}$ を $6 x^{7} - 18 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$6 x^{2}$ を $6 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) - 18 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.4.2

$6 x^{2}$ を $- 18 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

ステップ 7.4.3

$6 x^{2}$ を $6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{6 x^{2} (x^{5} - 3)}{x^{6}}$

ステップ 7.5

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$x^{2}$ を $6 x^{2} (x^{5} - 3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{6}}$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 7.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 7.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6 (x^{5} - 3)}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例