微分積分例

$y = \frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $2 e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x} e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$e^{x}$ を移動させます。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (e^{x} e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x + x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 8

$8$ と $\frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 ((2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 9.3.1.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{8 (2 (e^{x} e^{x})) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 (2 e^{x + x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.1.1.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{8 (2 e^{2 x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.1.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{16 e^{2 x} + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.1.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.1.4

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.2

$16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.3.2.1

$16 e^{2 x}$ から $16 e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3.2.2

$8 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例