微分積分例

$y = {\cos (9 x)}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\cos (9 x)}^{x}$ を $e^{\ln ({\cos (9 x)}^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (9 x)}^{x})}]$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cos (9 x)}^{x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (9 x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (\cos (9 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x \ln (\cos (9 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x \ln (\cos (9 x))$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (\cos (9 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (9 x))] + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (9 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (9 x)$ とします。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (9 x)$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{1}{\cos (9 x)} \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos (9 x)}$ を $\sec (9 x)$ に変換します。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 9 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $9 x$ とします。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $9 x$ で置き換えます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)) \cdot 1)$

ステップ 7.6

$\ln (\cos (9 x))$ に $1$ をかけます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x)))) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

ステップ 8.2

括弧を削除します。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} x \sec (9 x) (- 9 \sin (9 x)) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$- 9 e^{x \ln (\cos (9 x))} x \sec (9 x) \sin (9 x) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

微分積分 例

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