微分積分例

$y = {(x + (x + {(\sin^{2} (x))}^{5}))}^{3}$

ステップ 1

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1

${(\sin^{2} (x))}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x + x + {\sin (x)}^{2 \cdot 5})}^{3}]$

ステップ 1.1.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x + x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

ステップ 1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [{(2 x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x + \sin^{10} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x + \sin^{10} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + \sin^{10} (x)$ で置き換えます。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + \sin^{10} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)]$ です。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

ステップ 4

$f (x) = x^{10}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \cos (x))$

微分積分 例

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