微分積分例

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

ステップ 1

$f (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ および $g (x) = {(2 x + 5)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{({(2 x + 5)}^{4})}^{2}}$

ステップ 2

${({(2 x + 5)}^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{4 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = 3 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x - 2$ とします。

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x - 2$ で置き換えます。

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$6$ を ${(2 x + 5)}^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.2

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.7

式を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 4.7.2

$3$ に $6$ をかけます。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 5

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 2 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x + 5$ とします。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 5.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 5$ で置き換えます。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.2

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.6

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + 0))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.7

式を簡約します。

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ステップ 6.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \cdot 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.7.2

$2$ を ${(2 x + 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} (2 \cdot {(2 x + 5)}^{3})}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 6.7.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ を $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

$2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ を $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.1.2

$2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ を $- 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.1.3

$2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ を $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))$ で因数分解します。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5) - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x) + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.3

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.4

$9$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.6

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.7

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.8

$18 x$ から $12 x$ を引きます。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 45 + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.1.9

$45$ と $8$ をたし算します。

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.2

${(2 x + 5)}^{3}$ と ${(2 x + 5)}^{8}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

${(2 x + 5)}^{3}$ を $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

${(2 x + 5)}^{3}$ を ${(2 x + 5)}^{8}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例