微分積分例

$y = \ln^{2} (x + 4)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x + 4)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x + 4)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x + 4)$ で置き換えます。

$2 \ln (x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 4$ とします。

$2 \ln (x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$2 \ln (x + 4) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$2 \ln (x + 4) (\frac{1}{x + 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x + 4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{x + 4} \ln (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 3.2

$\frac{2}{x + 4}$ と $\ln (x + 4)$ をまとめます。

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (1 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} \cdot 1$

ステップ 3.6.2

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4}$

ステップ 4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x + 4)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({(x + 4)}^{2})}{x + 4}$

微分積分 例

微分積分例