微分積分例

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \log_{2} (x)$ および $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\log_{2} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ および $g (x) = 2 x^{2} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{2} - x$ とします。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{2} - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 7

$\frac{5}{2}$ と ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

ステップ 8

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ をかけます。

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ に ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 10.1.4

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 10.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 10.2

$2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ を簡約します。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

ステップ 11

総和則では、 $2 x^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 12

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 14

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

ステップ 17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

ステップ 18.3

項をまとめます。

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ステップ 18.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

ステップ 18.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

ステップ 18.4

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

ステップ 18.5

$2 x \ln (2)$ を $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ で因数分解します。

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ステップ 18.5.1

$2 x \ln (2)$ を $4 x^{2} \ln (2)$ で因数分解します。

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

ステップ 18.5.2

$2 x \ln (2)$ を $- 2 x \ln (2)$ で因数分解します。

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

ステップ 18.5.3

$2 x \ln (2)$ を $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ で因数分解します。

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

ステップ 18.6

$4 x - 1$ に $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ をかけます。

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

ステップ 18.7

$5$ を $4 x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

微分積分 例

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