微分積分例

$y = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{- 2 x}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = 1 + e^{- 2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $1 + e^{- 2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 3.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ をたし算します。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 2 x$ とします。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{- 2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{0} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 6.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \cdot 1}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.3.1.2

指数を足して $e^{- 2 x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.2.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{- 2 x}) + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x - 2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.3.1.2.3

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{0} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.3.1.3

$2 e^{0}$ を簡約します。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.3.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 e^{2 x} + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.4

$2$ を $2 e^{2 x} + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$2$ を $2 e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{2 x}) + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 \cdot 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

ステップ 11.4.3

$2$ を $2 e^{2 x} + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{2 x} + 2)}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例