微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $x^{3} - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{3} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2} x^{2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 (x^{2} x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2 + 2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 3} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{4} - 2 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$2 x^{4}$ から $3 x^{4}$ を引きます。

$\frac{- x^{4} - 2 x}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例