微分積分例

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

ステップ 1

$f (x) = \sin^{2} (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

括弧を付けます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 5.2.2

$2 x^{3}$ と $\cos (x) \sin (x)$ を並べ替えます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

ステップ 5.2.3

括弧を付けます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

ステップ 5.2.4

$\cos (x)$ と $\sin (x) \cdot 2$ を並べ替えます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

ステップ 5.2.6

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

ステップ 5.3

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$

微分積分 例

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