微分積分例

$y = {(3 x - \frac{2}{x})}^{8}$

ステップ 1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = 3 x - \frac{2}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - \frac{2}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $3 x - \frac{2}{x}$ で置き換えます。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x - \frac{2}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ です。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

ステップ 2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

ステップ 2.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.6

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 (- x^{- 2}))$

ステップ 2.8

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 x^{- 2})$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 4

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{2}{x^{2}})$

微分積分 例