微分積分例

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 300 x + 300$ および $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $300 x + 300$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ です。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.3

$300$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $300 x$ の微分係数は $300 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.5

$300$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.6

$300$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $300$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$300$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 2.7.2

$300$ を ${(2 x + 3)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 3$ とします。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 3$ で置き換えます。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.2

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.6

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7.2

$2$ を $2 x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 4.7.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${(2 x + 3)}^{2}$ を $(2 x + 3) (2 x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 3) (2 x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.2

$6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.1

$4$ に $300$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.5.2

$12$ に $300$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.5.3

$300$ に $9$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.6.1

$300$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.6.2

$- 4$ に $300$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.8.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.8.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.1.3

$- 1200$ に $2$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.1.4

$3$ に $- 1200$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.1.5

$2$ に $- 1200$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.1.6

$- 1200$ に $3$ をかけます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8.2

$- 3600 x$ から $2400 x$ を引きます。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$1200 x^{2}$ から $2400 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$3600 x$ から $6000 x$ を引きます。

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.2.4

$2700$ から $3600$ を引きます。

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$300$ を $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$300$ を $- 1200 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.2

$300$ を $- 2400 x$ で因数分解します。

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.3

$300$ を $- 900$ で因数分解します。

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.4

$300$ を $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ で因数分解します。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.5

$300$ を $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$- 8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$- 8$ を $- 2$ プラス $- 6$ に書き換える

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.3

最大公約数 $- 2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.4

$2 x + 3$ と ${(2 x + 3)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 x + 3$ を $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$2 x + 3$ を ${(2 x + 3)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.8

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

ステップ 5.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例