微分積分例

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ および $g (x) = 2 x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 1.2

$n = \frac{3}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 5.2

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 6.2

$\frac{3}{4}$ と ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 7

総和則では、 $2 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + 0)$

ステップ 12

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x)$

ステップ 12.2

$4$ と $\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

ステップ 12.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

ステップ 12.4

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{12 x}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 12.5

$4$ を $12 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$4$ を $4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{4 (3 x)}{4 ({(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x}{{(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

微分積分 例

微分積分例