微分積分例

$y = {(4 x + 5)}^{6}$

ステップ 1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = 4 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x + 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

ステップ 1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 x + 5$ で置き換えます。

$6 {(4 x + 5)}^{5} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$6 {(4 x + 5)}^{5} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 {(4 x + 5)}^{5} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(4 x + 5)}^{5} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$6 {(4 x + 5)}^{5} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$6 {(4 x + 5)}^{5} (4 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$6 {(4 x + 5)}^{5} \cdot 4$

ステップ 2.6.2

$4$ に $6$ をかけます。

$24 {(4 x + 5)}^{5}$

微分積分 例