微分積分例

$y = {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ で置き換えます。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{- 2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ です。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0)$

ステップ 2.9

$12 x^{2} + 2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 5

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}})$

微分積分 例

微分積分例