微分積分例

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{10}$

ステップ 1

$f (x) = x^{10}$ および $g (x) = x^{3} - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

ステップ 1.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 4 x$ で置き換えます。

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

ステップ 2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

ステップ 2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} - 4)$

微分積分 例