微分積分例

$y = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 1] - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{2} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.5

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (4 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (4 x - 3 + 0) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.9

$4 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (4 x - 3) - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2} - 3 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 x \cdot x + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + x \cdot - 3 - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{4 x^{2} - 3 \cdot x - (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$4 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 2 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$4 x^{2} - 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 2 x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$4 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}$

微分積分 例

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