微分積分例

$y = {(1 - x^{2})}^{10}$

ステップ 1

$f (x) = x^{10}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$10 {(1 - x^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$10 {(1 - x^{2})}^{9} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$10 {(1 - x^{2})}^{9} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$10 {(1 - x^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 {(1 - x^{2})}^{9} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 {(1 - x^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 {(1 - x^{2})}^{9} (2 x)$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2$ に $- 10$ をかけます。

$- 20 {(1 - x^{2})}^{9} x$

ステップ 2.7.2

$- 20 {(1 - x^{2})}^{9} x$ の因数を並べ替えます。

$- 20 x {(1 - x^{2})}^{9}$

微分積分 例