微分積分例

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + \sin (7 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

ステップ 1.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + \sin (7 x)$ で置き換えます。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \sin (7 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ です。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ をたし算します。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $7 x$ とします。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$7$ に $- 4$ をかけます。

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

ステップ 4.4

$- 28$ に $1$ をかけます。

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

ステップ 5.2

$- 28$ と $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

ステップ 5.4

$\cos (7 x)$ と $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

ステップ 5.5

$28$ を $\cos (7 x)$ の左に移動させます。

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例