微分積分例

$y = {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ および $g (x) = x^{5} - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5} - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 1.2

$n = \frac{4}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{5} - 8$ で置き換えます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 5.2

$4$ から $5$ を引きます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 6.2

$\frac{4}{5}$ と ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ をまとめます。

$\frac{4 {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

ステップ 7

総和則では、 $x^{5} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 8

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 9

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + 0)$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4})$

ステップ 10.2

$5$ と $\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

ステップ 10.3

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

ステップ 10.4

$\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{20 x^{4}}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 10.5

$5$ を $20 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$5$ を $5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 ({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{4}}{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

微分積分 例

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