微分積分例

$y = {(x^{6} \ln (x))}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{6} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{6} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{6} \ln (x)$ で置き換えます。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$x^{6}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.2

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.2.2.5

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 4.3

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $x^{6} \ln (x)$ に当てはめます。

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

${(x^{6})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.1.2

$6$ に $4$ をかけます。

$5 (x^{24} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.2

指数を足して $x^{24}$ に $x^{5}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{5}$ を移動させます。

$5 (x^{5} x^{24}) \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.2.3

$5$ と $24$ をたし算します。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.3

${(x^{6})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.3.2

$6$ に $4$ をかけます。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{24} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

ステップ 5.3.4

$6$ に $5$ をかけます。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{24} \ln^{4} (x) (\ln (x) (x^{5}))$

ステップ 5.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) \ln (x)$

ステップ 5.3.6

$5$ と $24$ をたし算します。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{4} (x) \ln (x)$

ステップ 5.3.7

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{4} (x))$

ステップ 5.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 4}$

ステップ 5.3.9

$1$ と $4$ をたし算します。

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x)$

微分積分 例

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