微分積分例

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ です。

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

ステップ 2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ を $2 - x$ の左に移動させます。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $2 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.7

掛け算します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.7.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9

分数をまとめます。

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ステップ 4.9.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.2

$\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ と $18$ をまとめます。

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

ステップ 4.9.3

$18$ を $2 (2 - x) x + x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ に当てはめます。

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.2

積の法則を $6 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6

項をまとめます。

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ステップ 5.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$4$ に $18$ をかけます。

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.8

$- 2$ に $18$ をかけます。

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.9

$- 36 x^{2}$ と $18 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.10

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.11

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.6.11.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.12

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ に $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 5.6.13

指数を足して ${(2 - x)}^{2}$ に ${(2 - x)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.6.13.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

ステップ 5.6.13.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

ステップ 5.6.14

$36$ を $72 x - 18 x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

ステップ 5.7

項を並べ替えます。

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$18 x$ を $72 x - 18 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.8.1.1

$18 x$ を $72 x$ で因数分解します。

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8.1.2

$18 x$ を $- 18 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8.1.3

$18 x$ を $18 x (4) + 18 x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8.2

指数をまとめます。

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ステップ 5.8.2.1

$18$ に $36$ をかけます。

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

ステップ 5.8.2.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

微分積分 例

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