微分積分例

$g (x) = (\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}})$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{3} - 6)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 3.3

${(x^{3} - 6)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{3} - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 6$ とします。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 6$ で置き換えます。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 5.2

$x^{3} - 6$ を ${(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{3} - 6$ を ${(x^{3} - 6)}^{2}$ で因数分解します。

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$x^{3} - 6$ を $- 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ で因数分解します。

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$x^{3} - 6$ を $(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$ で因数分解します。

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x^{3} - 6$ を ${(x^{3} - 6)}^{4}$ で因数分解します。

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 7

総和則では、 $x^{3} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 9

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 10.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x \cdot x^{2}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 11

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.1

$x^{2}$ を移動させます。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 11.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 11.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x^{1})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{2 + 1}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 11.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{3}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 12

$x^{3}$ から $6 x^{3}$ を引きます。

$5 \frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 13

$5$ と $\frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.2

各項を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 25 x^{3} + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.2.2

$5$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{- 25 x^{3} - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.3

$5$ を $- 25 x^{3} - 30$ で因数分解します。

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ステップ 14.3.1

$5$ を $- 25 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 5 x^{3}) - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.3.2

$5$ を $- 30$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.3.3

$5$ を $5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.4

$- 1$ を $- 5 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.5

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 1 (6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.6

$- 1$ を $- (5 x^{3}) - 1 (6)$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.7

$- (5 x^{3} + 6)$ を $- 1 (5 x^{3} + 6)$ に書き換えます。

$\frac{5 (- 1 (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

ステップ 14.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 (5 x^{3} + 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

微分積分 例

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