微分積分例

$\ln (\frac{x}{y})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{y}$ で割ります。

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 3

$\frac{y}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 4

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{y}$ に $\frac{y}{x}$ をかけます。

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 7

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x}$

微分積分 例