微分積分例

$\ln (x^{2}) + e^{2 x}$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (x^{2}) + e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2}} x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.4

$\frac{2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.5

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{x} + e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2}{x} + 2 e^{2 x}$

微分積分 例

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