微分積分例

$\ln (\sqrt[5]{x^{2} + 1})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 7.2

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 9

$\frac{1}{5}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 11

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ に $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}}$ をかけます。

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 12

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ を移動させます。

$\frac{1}{5 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 12.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 12.5

$5$ を $5$ で割ります。

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 13

$5 {(x^{2} + 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 14

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 16

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + 0)$

ステップ 17

分数をまとめます。

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ステップ 17.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x)$

ステップ 17.2

$2$ と $\frac{1}{5 (x^{2} + 1)}$ をまとめます。

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)} x$

ステップ 17.3

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{5 (x^{2} + 1)}$

微分積分 例

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