微分積分例

$\ln (\sqrt{x} + 2)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}} + 2)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} + 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ に $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 10.3

$2$ を $x^{\frac{1}{2}} + 2$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 2) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3

項をまとめます。

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ステップ 11.3.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{1} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.2

$2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2 x + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 11.4.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $4 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)}$

ステップ 11.4.3

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}$

微分積分 例

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