微分積分例

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.5

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$135$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $135 x$ の微分係数は $135 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.10

$135$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

ステップ 2.12

$- 3 x^{2} + 12 x + 135$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ の因数を並べ替えます。

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.2

$- 3 x^{2} + 12 x + 135$ に $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ を $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.1.2

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.1.3

$3$ を $135$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.1.4

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.1.5

$3$ を $3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.2.1.2

$4$ を $- 5$ プラス $9$ に書き換える

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.3.2.3

最大公約数 $- x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.7

$- (x + 5)$ を $- 1 (x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

ステップ 3.9

$- 1$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

ステップ 3.10

$- 1$ を $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

ステップ 3.11

$- 1$ を $135 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

ステップ 3.12

$- 1$ を $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

ステップ 3.13

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

ステップ 3.14

$- 1$ を $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

ステップ 3.15

$- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ を $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

ステップ 3.16

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

ステップ 3.17

式を書き換えます。

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$

微分積分 例

微分積分例