微分積分例

$\ln (x^{2} \sin (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} \sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} \sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

ステップ 5.2.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

ステップ 5.2.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

ステップ 5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

ステップ 5.2.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ と $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ をまとめます。

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

ステップ 5.2.6

$2$ と $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ をまとめます。

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

ステップ 5.2.7

$\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ と $x$ をまとめます。

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

ステップ 5.2.8

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 5.2.9

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 5.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.9.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 5.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 5.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{2}{x} + \cot (x)$

微分積分 例

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