微分積分例

$\ln (x^{n})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{n}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{n}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{n}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{n}} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$n = n$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{n}} (n x^{n - 1})$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$n$ と $\frac{1}{x^{n}}$ をまとめます。

$\frac{n}{x^{n}} x^{n - 1}$

ステップ 2.2.2

$\frac{n}{x^{n}}$ と $x^{n - 1}$ をまとめます。

$\frac{n x^{n - 1}}{x^{n}}$

ステップ 2.2.3

$x^{n - 1}$ と $x^{n}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$x^{n}$ を $n x^{n - 1}$ で因数分解します。

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n}}$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{n x^{- 1}}{1}$

ステップ 2.2.3.2.4

$n x^{- 1}$ を $1$ で割ります。

$n x^{- 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$n \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

$n$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{n}{x}$

微分積分 例

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