微分積分例

$\ln (e^{x} - 3 x)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} - 3 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} - 3 x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} - 3 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} - 3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} \frac{d}{d x} [e^{x} - 3 x]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} (e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} (e^{x} - 3 \cdot 1)$

ステップ 4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} (e^{x} - 3)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{e^{x} - 3 x} (e^{x} - 3)$ の因数を並べ替えます。

$(e^{x} - 3) \frac{1}{e^{x} - 3 x}$

ステップ 5.2

$e^{x} - 3$ に $\frac{1}{e^{x} - 3 x}$ をかけます。

$\frac{e^{x} - 3}{e^{x} - 3 x}$

微分積分 例