微分積分例

$\ln (\frac{e}{e - x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{e}{e - x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{e}{e - x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{e}{e - x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{e}{e - x}$ で割ります。

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{e - x}{e}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

ステップ 3.2

$e$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e}{e - x}$ の微分係数は $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ です。

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$e$ と $\frac{e - x}{e}$ をまとめます。

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

ステップ 3.3.2

$e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

ステップ 3.3.2.2

$e - x$ を $1$ で割ります。

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{e - x}$ を ${(e - x)}^{- 1}$ に書き換えます。

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = e - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e - x$ とします。

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e - x$ で置き換えます。

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

ステップ 5

$e - x$ を $1$ 乗します。

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

ステップ 7

$1$ から $2$ を引きます。

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

ステップ 8

総和則では、 $e - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 9

$e$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e$ の微分係数は $0$ です。

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

掛け算します。

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ステップ 12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.2

${(e - x)}^{- 1}$ に $1$ をかけます。

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

ステップ 14

${(e - x)}^{- 1}$ に $1$ をかけます。

${(e - x)}^{- 1}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e - x}$

ステップ 15.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{- x + e}$

ステップ 15.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{1}{- (x) + e}$

ステップ 15.4

$- 1$ を $e$ で因数分解します。

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

ステップ 15.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- e)$ で因数分解します。

$\frac{1}{- (x - e)}$

ステップ 15.6

$- (x - e)$ を $- 1 (x - e)$ に書き換えます。

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

ステップ 15.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x - e}$

微分積分 例

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