微分積分例

$\ln (\sin (3 x) + e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (3 x) + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (3 x) + e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (3 x) + e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (3 x) + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4.3.2

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cdot \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$(3 \cos (3 x) + e^{x}) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

ステップ 6.3

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}} \cos (3 x) + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

ステップ 6.3.2

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}}$ と $\cos (3 x)$ をまとめます。

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

ステップ 6.4

$e^{x}$ と $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ をまとめます。

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + \frac{e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$

ステップ 6.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 \cos (3 x) + e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$

微分積分 例

微分積分例