微分積分例

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{x + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{x + 1}$ で割ります。

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 7

$1$ から $2$ を引きます。

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

ステップ 11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x + 1)}^{- 1}$

ステップ 12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x + 1}$

微分積分 例

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