微分積分例

$\int \cos (\ln (x)) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

$\int e^{u} \cos (u) d u$

ステップ 2

$e^{u}$ と $\cos (u)$ を並べ替えます。

$\int \cos (u) e^{u} d u$

ステップ 3

$w = \cos (u)$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

ステップ 5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

ステップ 5.2

$\int e^{u} (\sin (u)) d u$ に $1$ をかけます。

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

ステップ 5.3

$e^{u}$ と $\sin (u)$ を並べ替えます。

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

ステップ 6

$w = \sin (u)$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

ステップ 7

$\int e^{u} \cos (u) d u$ を解くと、 $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

ステップ 8

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

ステップ 10.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$

微分積分 例