微分積分例

$\sum_{n = 3}^{12} 20 {(0.5)}^{n - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{20 \cdot {0.5}^{n + 1 - 1}}{20 \cdot {0.5}^{n - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{20 \cdot {0.5}^{n + 1 - 1}}{20 \cdot {0.5}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{0.5}^{n + 1 - 1}}{{0.5}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2

${0.5}^{n + 1 - 1}$ と ${0.5}^{n - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${0.5}^{n - 1}$ を ${0.5}^{n + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{0.5}^{n - 1} \cdot {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{{0.5}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{0.5}^{n - 1} \cdot {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{{0.5}^{n - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{0.5}^{n - 1} \cdot {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{{0.5}^{n - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${0.5}^{n + 0 - (n - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}$

ステップ 2.2.3

$n$ と $0$ をたし算します。

$r = {0.5}^{n - (n - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {0.5}^{n - n - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {0.5}^{n - n + 1}$

ステップ 2.2.5

$n$ から $n$ を引きます。

$r = {0.5}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {0.5}^{1}$

ステップ 2.2.7

指数を求めます。

$r = 0.5$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $3$ を $20 {(0.5)}^{n - 1}$ に代入します。

$a = 20 \cdot {0.5}^{3 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ から $1$ を引きます。

$a = 20 \cdot {0.5}^{2}$

ステップ 3.2.2

$0.5$ を $2$ 乗します。

$a = 20 \cdot 0.25$

ステップ 3.2.3

$20$ に $0.25$ をかけます。

$a = 5$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$5 \frac{1 - {0.5}^{10}}{1 - 1 \cdot 0.5}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$0.5$ を $10$ 乗します。

$5 \frac{1 - 1 \cdot 0.00097656}{1 - 1 \cdot 0.5}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $0.00097656$ をかけます。

$5 \frac{1 - 0.00097656}{1 - 1 \cdot 0.5}$

ステップ 5.1.3

$1$ から $0.00097656$ を引きます。

$5 \frac{0.99902343}{1 - 1 \cdot 0.5}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$5 \frac{0.99902343}{1 - 0.5}$

ステップ 5.2.2

$1$ から $0.5$ を引きます。

$5 (\frac{0.99902343}{0.5})$

ステップ 5.3

$0.5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$0.5$ を $5$ で因数分解します。

$0.5 (10) \frac{0.99902343}{0.5}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$0.5 \cdot 10 \frac{0.99902343}{0.5}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$10 \cdot 0.99902343$

ステップ 5.4

$10$ に $0.99902343$ をかけます。

$9.99023437$

微分積分 例

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