微分積分例

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2} - 7}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2} - 7}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x^{2} - 7}{x}$ で割ります。

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

ステップ 3

$\frac{x}{x^{2} - 7}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{2} - 7$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x^{2} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

ステップ 11.2

$\frac{x}{x^{2} - 7}$ に $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$x$ を $(x^{2} - 7) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

ステップ 13.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

ステップ 13.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 13.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 13.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

ステップ 13.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

ステップ 13.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

ステップ 13.5

$x$ を $x^{3} - 7 x$ で因数分解します。

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ステップ 13.5.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

ステップ 13.5.2

$x$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

ステップ 13.5.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$

微分積分 例

微分積分例