微分積分例

$f (x) = \ln (\frac{x^{5}}{3})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x^{5}}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{5}}{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{5}}{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x^{5}}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x^{5}}{3}$ で割ります。

$1 \frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

ステップ 3

$\frac{3}{x^{5}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{5}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{3}{x^{5}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 6

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$5$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

ステップ 7.2

$\frac{5}{x^{5}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

ステップ 7.3

$x^{4}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$x^{4}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{x}$

微分積分 例

微分積分例