微分積分例

$f (x) = \cos (\arctan (\ln (x)))$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

交点 $(1, \ln (x))$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\ln (x))$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \ln (x))$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arctan (\ln (x)))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ を ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.4

${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + \ln^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + \ln^{2} (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

ステップ 7.3

総和則では、 $1 + \ln^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 7.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 7.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 9

項を簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 9.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 9.3

$\ln (x)$ と $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 9.4

$- 2$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 9.5

$2$ を $- 2 \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 10

共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

$2$ を $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 10.3

式を書き換えます。

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 12

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 13

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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