微分積分例

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (\arctan (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\arctan (x)$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$\frac{1}{\arctan (x)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{x}{\arctan (x)}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

ステップ 5.3

$\ln (\arctan (x))$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

ステップ 6.2.2

$\ln (\arctan (x))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

微分積分 例

微分積分例