微分積分例

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ で割ります。

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

ステップ 4

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ を $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ に変換します。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

ステップ 5

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ とします。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ で置き換えます。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ です。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 6.5

$\frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

ステップ 6.6

分数をまとめます。

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ステップ 6.6.1

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

ステップ 6.6.2

$\frac{1}{2}$ と $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ をまとめます。

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

ステップ 6.6.3

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ と $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ をまとめます。

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

ステップ 7.1.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

ステップ 7.1.4

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.4.1

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ を $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

ステップ 7.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

ステップ 7.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

ステップ 7.1.5

$\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ に $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ をかけます。

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

ステップ 7.1.6

分数を分解します。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

ステップ 7.1.7

$\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ を $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ に変換します。

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.1.8

分数を分解します。

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.1.9

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ を $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ に変換します。

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.1.10

$1^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.1.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.1.12

$\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

ステップ 7.2

項を並べ替えます。

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

微分積分 例

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