微分積分例

$f (x) = \ln (x) \cdot \ln (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\ln (x) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2 x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\ln (x)}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ と $\frac{\ln (x)}{2 x}$ をまとめます。

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.5

$\frac{\ln (x)}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{1}{x}$

ステップ 5

$\ln (2 x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (2 x)}{x}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x) + \ln (2 x)}{x}$

ステップ 6.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln (x (2 x))}{x}$

ステップ 6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln (2 x \cdot x)}{x}$

ステップ 6.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\ln (2 (x \cdot x))}{x}$

ステップ 6.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\ln (2 x^{2})}{x}$

微分積分 例

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