微分積分例

$x \ln (2 x + 1)$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (2 x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7.2

$\frac{x}{2 x + 1}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.9

$\ln (2 x + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)$

ステップ 4

$\ln (2 x + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

ステップ 6.1.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

ステップ 6.1.1.3

$\ln (2 x + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 6.1.1.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2 x + 1)$ を簡約します。

$\frac{2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 6.1.2

$2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x + x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$\frac{x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + 2 x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

微分積分 例

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