微分積分例

$y = (x^{5} + 3) \cdot e^{3 x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5} + 3$ および $g (x) = e^{3 x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}] + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2}$ とします。

$(x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{5} + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{5} + 3) (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 (2 x)) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

ステップ 3.4

総和則では、 $x^{5} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.6

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + 0)$

ステップ 3.7

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(x^{5} e^{3 x^{2}} + 3 e^{3 x^{2}}) (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x^{5} e^{3 x^{2}} (6 x) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.3.3

$1$ と $5$ をたし算します。

$x^{6} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.3.4

$6$ を $x^{6} e^{3 x^{2}}$ の左に移動させます。

$6 \cdot (x^{6} e^{3 x^{2}}) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.3.5

$6$ に $3$ をかけます。

$6 x^{6} e^{3 x^{2}} + 18 e^{3 x^{2}} x + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$6 e^{3 x^{2}} x^{6} + 18 e^{3 x^{2}} x + 5 e^{3 x^{2}} x^{4}$

微分積分 例

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