微分積分例

$y = (x^{2} + \sin (x)) \sec (x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + \sin (x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$(x^{2} + \sin (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} \sec (x) + \sin (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x) + \sec (x) \cos (x)$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.4

まとめる。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.5.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.6

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.8

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.5.9.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.9.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.10

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.11

$2 x \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.5.11.1

$2$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.11.2

$x$ と $\frac{2}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.12

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \cdot x}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

ステップ 5.5.13

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.13.1

$\cos (x)$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x)$

ステップ 5.5.13.2

正弦と余弦に関して $\cos (x) \sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

ステップ 5.5.13.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6.2

分数を分解します。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6.4

分数を分解します。

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6.6

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.6.7

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

ステップ 5.7

$1$ を移動させます。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + \frac{2 x}{\cos (x)}$

ステップ 5.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)}$

微分積分 例

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