微分積分例

$y = (x^{3} + 1) \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + 1$ および $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} + 1$ とします。

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 1$ で置き換えます。

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.4.2

$3$ と $\frac{1}{x^{3} + 1}$ をまとめます。

$(x^{3} + 1) \frac{3}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.4.3

$x^{2}$ と $\frac{3}{x^{3} + 1}$ をまとめます。

$(x^{3} + 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.4.4

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(x^{3} + 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

ステップ 3.5

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

ステップ 3.8

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1^{3}} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.1.3

簡約します。

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ステップ 4.2.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.2

$x^{3} + 1$ に $\frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ をかけます。

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2})}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{3} + 1^{3}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.3.2

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.3.3

簡約します。

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ステップ 4.2.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.5

$x^{2} - x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 4.2.5.2

$3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

微分積分 例

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