微分積分例

$y = {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ で置き換えます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})]$ です。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \arcsin (\frac{1}{x})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})]$ です。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})])$

ステップ 3

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\arcsin (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ です。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2}))$

ステップ 4.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + 1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}})$

ステップ 4.3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}})$

ステップ 6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}})$

微分積分 例

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